정수의 분류 문제

수학의정석(상) p79

정수의 성질을 이용한 문제다. 

예제의 풀이를 참고하여 문제를 풀었으며, 풀이내용이 석연치 않다. 

 

문제에서

1)3으로 나눈 나머지가 1인 수는 = 3m+1 

2)5로 나눈 나머지가 3인 수는 = 5n+1 

3) 100이하 자연수 (0<x<=100)

 

3m+1만 수열로 나타내면 

 

차이

1

3

3

3

3

3

3

3

...

조건을 만족하는 숫자

1                    4(1+3n)         7                  10 ... 

 

n=0                n=1              n=2              n=3

 

0~1:  차이 1 

1~3:  차이 2 

그 다음부터는 차이 3... 

---

1)3으로 나눈 나머지가 1인 수는 = 3m+1

2)5로 나눈 나머지가 3인 수는 = 5n+3 

3) 100이하 자연수 (0<x<=100)

 

3가지 조건을 만족해야 한다. 

1)와 2)가 이고(곱셈법칙?)으로 연결되어 있으므로 해당문제는 집합으로 표현하면 교집합으로 나타낼 수 있다. 

3)을 추가해서 1)과 2)와 3)의 교집합을 구하는 문제다. 

 

풀이순서 

1)과 2)의 교집합을 구한다. 

1)과 2)를 동시에 만족하는 수를 구해야 하는데, 1)에 속하는 수 중에서 2)를 만족하는 수를 구해야 한다. 2) 중에는 1)을 만족하지 않는 수도 있다. 

 

공식 : kn+-(k-1)

n은 정수 

 

5n+0 

 

 

1)과 2)의 교집합의 수

= 3(5n+3)+1

= 15n+10

= 5로 묶으면 5(3n+2) -> 조건 불만족 

 

= 3(5n+4)+1

= 15n+13

= 5로 묶으면 5(3n+2)+3 -> 조건 만족 

 

 

반대로 

 

 

5(3m)+3

= 15m+3

= 3(5m+1)+0 조건 불만족 

 

5(3m+1)+3

= 15m+8 

= 3(5m+2)+2 조건 불만족 

 

5(3m+2)+3

= 15m+13 

= 3(5m+4)+1 조건 만족 

-> 15m+13 

 

 

15m+13 이면서 100이하의 자연수는 

1] m=0, 13

2] m=5, 75+13 = 88, 

m=6, 90+13 = 103 초과됨 x

1] + 2] = 답: 6개 

 

---

1)3으로 나눈 나머지가 1인 수는 = 3m+1

2)5로 나눈 나머지가 3인 수는 = 5n+3 

3) 100이하 자연수 (0<x<=100)

 

의문점

여기서 조건이란 3으로 나누어서 1이 남고, 5로 나누어서 3이 남게 되는 동치를 말함.

위 식 3m+1에서 m에 5n+0..1..2..3..4... 을 차례로 대입해보는 건 

이미 3m+1로 1)의 조건은 만족했고, 2)의 조건을 만족하는 식을 찾기 위함임. 

1)로 구분된 수 중에서 2)로 구분된 수를 찾는데,  

 

1>> 1) 식에  2)식을 바로 대입하지 않는지,

2>> 왜 대입한다는 발상이 가능한건지,

3>> 많은 수중에서  5로 나눈 나머지 식들을 무차별로 대입해서 조건을 확인해봐야 하는지 명확하지 않다. 

 

 

누군가 문제에 대해 명쾌한 설명이 가능하다면  댓글을 달아주길 바란다. 

 

다시 정리하면 

? = 3(5로 나눈 나머지에 의해 분류 중 하나의 규칙)+ 1 =  3으로 나누어서 1이 남는 수 <-> 5로 나누어서 3이 남는 수 

 

1	3	3	3	3	3
3	5	5	5	5	5

n: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ...13.... 

 

3n+1: 1 4 7 10 13 ... 

 

5n: 0 5 10 15 20 25 30 

5n+1: 1 6 11 16 21 ... 

5n+2: 2 7 12 17   

5n+3: 3 8 13 18         5씩 건너뛰긴 하지만 시작점이 다르므로 찍히는 숫자도 다름. 

5n+4: 4 9 14 19 24 29 ...

 

15m+13: 13 28 43... 

 

??