제 5장 행렬식_행이 같은 행렬의 행렬식 증명 p111+ ?? 미해결

 

행렬식 개념정리

증명 (1) 해설 

A의 i번째 행과 j번째 행이 같고, A에 행교환 기본행연산 적용한  행렬을 B라 하면 A와 B는 같고, 두 행렬의 행렬식도 같다, 그런데 

|B| = -|A| 이므로 |A| = |B| = 0 이라는 말은 어렵게 설명한 말임. 그냥 값이 같은 두 행을 교환했지만 결국 두 행이 같은 행렬이므로 행렬식은 0이 된다는 말임.

 

 두 행이 같을 경우 행렬식의 값은 0이다. 대각선으로 곱해서 빼면 (ad-bc) 결국 0이 나옴 

12

12

2-2=0

 

 

 

 

증명 (2) 해설 

A의 j번째 행을 A의 i번째 행으로 대체한 게 B( b ij), 

b jk = a ik , i행을 j행으로 복붙했으니  당연함. 

B jk = A jk (1<=k<=n) 두 여인수(소행렬)가  같음(원소곱 제외), A와 B의 차이는 j행이 변한 것인데 j행을 기준으로 제외하여 소행렬을 만들면 당연함. 

 

|B| = 0 이다. 따라서 A의 행렬식과 B의 행렬식은 같아진다.

 

 

기본적인 행렬식의 공식은 아래 B의 공식의 형태이지만 복제대상이 된 i행과 행렬 A와 B의 여인수가 같다는 성질을 이용해 

아래와 같은 식이 되는듯. 

 

두번째 증명은 완전히 이해 안됨

 

 

출처: 선형대수 p111

 

시그마 a ik A jk

 

 

(2)에  문장에서 j번째 행을 i번째 행으로 대체 한다는 말은 i와 j행이 같아진다는 말이다. 

여기서  같은 두 행중 하나의 행에 실수곱(-1) 하여 다른 행에 더해 0행을 만들면 

 

<내 생각>

0행이 포함된 행렬이 만들어지는 셈. 그렇다면 해당 행렬은 정칙행렬이 아니게 되며, 여인수 전개에 따라 0행을 기준으로 잡고 계산할 경우 행렬식 값은 0이 나오게 됨. 그러므로 n차 행렬에서 두 행이 같을 경우 그 행렬의 행렬식 값은 0이 되게 됨. 

 

만들어진 행렬의 행렬식 값은 본래 행렬의 행렬식 값과 같으므로 

1)) 주어진 행렬에서 기본행연산과 행렬식의 관계 3가지 

-행 교환 -> 행렬식 실수값에 x(-1), -(ad-bc)로 정리됨.

-하나의 행에 실수 곱 -> 행렬식 앞에 실수곱 

-하나의 행에 실수곱을 한 후 다른 행에 더함 -> 행렬식 값은 변화 없음 

 

?? 

예제 5.3에 문제 (3)은 왜 행을 하나 증가시켜서 원소와 여인수를 곱하는지 모르겠음. 

증명 (2)의 예제같은데. 이 행렬은 행이 같지도 않고, 알기쉬운 선형대수에서 본 것처럼 행렬의 스칼라가 비례관계도 아님 

나중에 찾아보자 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p110 에 수학적 귀납법으로 행교환시 행렬식 부호가 번전되는거 증명하는 예시를 써봄. 책에 없어서 이거 보고 책보면 정리된 공식은 이해감.

수학적 귀납법은 이산수학에서 봤는데, 개념만 대강 알고 실제활용에선 잘모르겠음. 

 

정리된 내용의 골자는 이런거임. i행과 j행이 교환된 행렬에서 p행을 기준으로 소행렬식을 남겨서 보면 i행과 j행이 반전된 소행렬식이 나옴. 

(A의 소행렬식을 기준으로 B의 소행렬식의 행 두개가 교환되어 있음) 그래서 부호가 반전되고, |B|여인수 전개 식에서 각각의 여인수를 |B| = -|A| 로 치환하여 여인수 전개를 하여 묶어서 정리하면 -|A|가 되서 |B| = -|A| 가 되고, 수학적 귀납법으로 한 가지 사례를 미루어 다른 수에서도 적용되는 것을 증명해내는 것.